Fonctions spéciales de la physique mathématique

La théorie des fonctions spéciales qui est née dans lés travaux d’Euler, Gauss, Laplace, Jacobi, Riemann et Tchébychev est de longue date une discipline classique des mathématiques, qui s’est profondément enracinée en analyse mathématique, en théorie des fonctions d’une variable complexe, en théorie des représentations des groupes, en physique théorique et mathématique, et qui, de par ses liens avec ces branches, possède un vaste champ d’applications. Les propriétés des fonctions spéciales ont fait l’objet de travaux fondamentaux. Malheureusement chaque classe de fonctions spéciales a son propre appareil mathématique (au surplus assez lourd) et d’innombrables artifices. Le présent ouvrage propose une nouvelle méthode de construction de la théorie des fonctions spéciales qui est basée sur une idée générale relativement simple permettant de traiter cette théorie d’un point de vue unique avec un outil mathématique assez élémentaire.

Les fonctions spéciales sont toutes considérées comme des solu­tions particulières de l ’équation différentielle d ’un certain type apparaissant dans de nombreux problèmes de physique théorique et mathématique. Grâce à une généralisation assez évidente de la for­ mule de Rodrigues pour les polynômes de Legendre, on a pu trouver une représentation intégrale unique pour toutes les fonctions spé­ciales. Ceci a permis de développer d’une façon naturelle et assez concise les principaux faits de la théorie des fonctions sphériques, cylindriques et hypergéométriques (ainsi que des généralités sur les polynômes orthogonaux classiques d’une variable continue et d’une variable discrète), faits dont l’étude nécessitait bien plus de temps et d’efforts.

Cet ouvrage étant destiné surtout aux physiciens, les auteurs ont regroupé l’essentiel de ce qui concerne les fonctions spéciales en phy­sique mathématique et en mécanique des quanta. En même temps ils ne se sont pas fixé pour objectif de donner le maximum de détails sur les fonctions spéciales, mais d’esquisser les grands traits d’une méthode qui, en s’appuyant sur une approche unique, permette d’appliquer cette théorie aux autres disciplines scientifiques et de ré­soudre les divers problèmes auxquels sont confrontés le physicien, le mathématicien, l’ingénieur.
Les auteurs espèrent que cette approche, qui repose en fait sur la seule formule du mathématicien français Benjamin Olinde Rodrigues (1794-1851), rappelle au lecteur la pensée de Poincaré: «Les mathématiques sont l’art d’appeler des choses différentes par le même nom » et aide les futurs ingénieurs et chercheurs en physique, chimie et autres sciences appliquées à assimiler vite et sérieusement la théorie des fonctions.